数学系的学生都学什么？
《数学分析》、《线性代数》、《概率论》是基础课程，也是数学系的入门教程。
严格的说，数学系一般不用《高等数学》这本书，其它专业的公共数学课才要用。
还会有更专业的课程：《复变函数》、《实变函数》、《泛函分析》、《近世代数》、《初等数论》等等，不一而足！
不过，如果你认为《初等数论》很初等，你证真错了，不信找本教材去做做！
所有数学专业学生必修课程：
数学分析III analysis calculus 5
数学分析III analysis calculus 5
数学分析III analysis calculus 5
高等代数II algebra algebra 5
高等代数II algebra algebra 5
程序设计 CS cs 4
常微分方程 analysis ODE 3
抽象代数 algebra algebra 3
复变函数 analysis 函数论 3
实变函数 analysis 函数论 3
数学模型 applied math applied math 3
概率论 P&S probability 3
泛函分析 analysis 泛函分析 3
数理方程 analysis PDE 3
基础力学 applied math applied math 3
毕业论文(含专题讨论) applied math applied math 6
数学与应用数学专业必修课程：
以上＋
拓扑学 geometry topology 3
微分几何 geometry geometry 3
信息与计算科学专业分4个方向，每个方向要求的课程不一样，比如说计算数学方向要求学 微分方程数值解法 以及其他一些计算类的选修课程。
总的来说，必修课就是数学专业本科的一些骨干课程，是所有合格的数学专业本科生都应当掌握的基础知识。所以也没什么挑肥拣瘦的。。本院的课程设置，信计方向的学生不用修拓扑与微分几何。
至于选修课程，本人上过的都组合数学、数论基础，旁听过抽代续论、应用偏微分方程、复分析， etc.其实虽然列表里面有这么多选修课，但并不是都能开出来。比如说多复变函数论，本院能开多复变的老师大概也就一两个。。而且实际上本科生能听的课程资源不仅仅是本科课程，研究生课程也可以随意旁听。本人也旁听过一两门研究生课。
所以这些课程都在学什么呢？
其实作为一个数学学生，感觉这个问题还挺难回答的。因为这些东西对我们就像加减乘除四则运算一样自然。同时这些课程内容又很多。我没办法用几句话很好地总结每门课大致在学什么，我就随便说说分析、几何／拓扑、代数3个大方向大致在干些什么吧。说得很粗略，也都是个人见解，不一定准确。不过话还是说在前面：要掌握某个数学分支的内容和方法，只能是通过自己的学习和探索，听别人的介绍不过是走马观花，自己并不能得到真正的理解。
分析方向：极粗略地讲，就是分析 函数／分布／微分方程的解 等一类数学对象的性质。比如说PDE里面对解进行先验估计，对解的正则性的分析；比如说古典的Fourier分析里面分析某个函数的Fourier级数的收敛性。这个方向的特点在于使用的工具比较细致，主要表现形式在于运算和不等式估计。运算过程中的细小错误有可能导致整个结论的错误。这种错误甚至在一些大师的权威教材里面也时常出现。所以分析适合细心同时又有耐心的人学。
几何／拓扑方向：本人比较感兴趣的方向。主要是研究曲线、曲面、高维流形、代数簇、scheme等几何对象的定性的或者定量的性质。拓扑关注的是比较“软”的性质，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同伦变换下不变的东西。微分几何则更具有“刚性”。微分几何考虑的是在拓扑流形（有可能带奇点，所谓的orbifold）上加个度量（可以是Riemann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考虑跟度量有关的一些几何现象（所谓度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲线的长度，在一般的拓扑空间上是没有这样一把尺子的）。至于代数几何，考虑的对象的“刚性”比微分几何更强。复代数簇相当于复流形，复流形之间的全纯变换是非常刚性的变换。所谓刚性，你可以直观地理解为“自由度”，刚性越强，可以选择的余地就越少。
代数方向：本人弱项。主要是研究各种代数结构，比如群环模域等等，以及这些代数结构的“表示”。初次接触本科抽象代数的同学，可能会觉得代数比较形式化，比较抽象，事实上各种代数对象都是有“数学意义”的，比如说交换代数可以被纳入到（经典的）代数几何的框架内，从而交换代数中的结论都有几何含义。
楼主还提到第四个方向，应数方向。但本人不是学应数的，一点都不了解，没什么发言权。不过虚的东西还是可以扯一扯的。应数的philosophy就是“把数学应用出去”。应用在什么领域？物理化学生物，经济金融，社科，甚至是音乐艺术，只要能用到数学的地方都有应数的身影。用什么数学工具？无所谓，不管高端低端，直观还是抽象，只要用起来方便且管用就行。
必须指出的是，以上说的数学方向，并不是严格的数学分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同数学领域并不是互相孤立的，相互之间也会有很多联系，有些联系还是很深刻的。不过本人才疏学浅，也不能多说什么。
以上都是个人极粗略的理解，只是为了给非数学科班学生一点点感觉，各位数学大神请手下留情，求轻虐。。
OK,第二个问题：学了有什么用？
最简单的答案是：没什么用。
追求纯数的人，基本都不太会关注自己学的东西在实际生活中到底有什么用，就是好玩而已。在这里我突然想quote这个问题：为什么有人喜欢数学？ – 为什么有人喜欢 X。排名第二的答案是一篇我觉得写得还不错的英语文章，同时也很好地解释了包括我在内的相当一部分人学数学的动机。如果真想了解数学专业学生的想法的话，这篇文章值得一读～
其实很多时候我都感觉学数学和学艺术有点像。艺术是对美的追求，数学是对真理的追求。两者好像都没什么实际应用价值，但是如果社会上没有这两样东西，又总觉得少了些什么～
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